一道简单的高一数学题

特邀回答的答案

设函数f（x）=（x+a）/（x+b）（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，
并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
解：∵a>b>0, ∴a-b>0.
f(x)=(x+a)/(x+b)=1+(a-b)/(x+b)
x→-b(-)limf(x)=x→-b（-）lim(x+a)/(x+b)=-∞
X→-b(-)表示x从-b的左边趋近-b.
x→-b(+)limf(x)=x→-b(+)lim(x+a)/(x+b)=+∞
X→-b(+)表示x从-b的右边趋近-b.
因此x=-b是f(x)的垂直渐近线。
x→∞limf(x)=x→∞lim[1+(a-b)/(x+b)]=1
因此y=1是f(x)的水平渐近线。
于是可知：（-∞,-b)是其单减区间，（-b,+∞)也是其单减区间。
下面只证明（-b,+∞)是其单减区间。（另一单减区间的证明类似）
设x1<x2是区间（-b,+∞)内的任意两点，由于：
f(x2)-f(x1)=(x2+a)/(x2+b)-(x1+a)/(x1+b)
=[(x2+a)(x1+b)-(x1+a)(x2+b)]/[(x1+b)(x2+b)]
=(a-b)(x1-x2)/[(x1+b)(x2+a)]<0
这是因为a-b>0,x1-x2<0,x1+b>0,x2+a>0之故。
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),故在此区间内f(x)单调减。