25，已知一条抛物线与Y轴的交点为C,

最佳答案 - 由提问者2010-01-02 20:54:05选出

已知一条抛物线与Y轴的交点为C,顶点为D,直线CD的解析式
为Y=X+3,并且线段CD的长为3√2
(1)求这条抛物线的解析式；
(2）设（1）中的抛物线与x轴有两个交点A(X1,0),B(X2,0),
且点A在点B的左侧，求线段AB的长；
(3）若以AB为直径作⊙M，请你判断CD与⊙M的位置关系，并说
明理由。
解：(1).由y=x+3,得抛物线与y轴的交点C(0,3)，设抛物线
的顶点D的坐标为(m,n).由于│CD│=√[m²+(n-3)²]=3√2
平方去根号得m²+(n-3)²=18...............(1)
顶点D（m,n)在直线y=x+3上，故有n=m+3.....(2)
将（2）代入（1）即得 m²=9,故m=±3,n=6(m=3)或0(m=-3).
根据题意，抛物线与x轴有两个交点，故应取顶点D（3，6）.
(如果取D为（－3，0）,则因为顶点在X轴上，故抛物线与X轴
只有一个交点）。
于是可设这条抛物线的解析式为：y=a(x-3)²+6=ax²-6ax+9a+6
将C点的坐标（0，3）代入，即得9a+6=3,故得a=-1/3.
∴该抛物线的解析式为：y=-(1/3)(x-3)²+6=(-1/3)x²+2x+3.
(2).X₁和X₂是方程(-1/3)x²+2x+3＝0的两个根，
│AB│=√(X₂-X₁)²=√[(X₂+X₁)²-4X₁X₂]
其中，由韦达定理可知：X₂+X₁＝6，X₁X₂＝-9
故│AB│=√[6²-4×(-9)]=√72=6√2.
(3).⊙M的半径R=│AB│/2=3√2,园心M（3,0），园心M到CD的距
离d=│3-0+3│/√2=6/√2=3√2=R,故CD与园M相切。