是2的p次方，再减去1，不是2p-1
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我们把一个大于1的自然数叫作素数，如果只有1和它本身可以整除它。如果一个比1大的自然数不是素数，我们就叫它合数。1既不是素数，也不是合数。
　　比如说，你很容易就可以验证7是一个素数；而15是一个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。根据定义，2是一个素数，它是唯一的偶素数。早在公元前三百年的古希腊时代，伟大的数学家欧几里德就证明了存在着无穷多个素数。
　　关于素数，有许多既简单又美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何一个大于6的偶数，都能表示为两个奇素数之和。还有孪生素数问题。象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪生素数。孪生素数问题是说：是不是有无穷多对孪生素数？这里要顺便提一下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决方法将一定是极其复杂的，需要最先进的数学工具。如果你不是狂妄到认为几百甚至几千年来所有在这些问题上耗费了无数聪明才智的数学家（有许多是非常伟大的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图用初等方法去解决这些问题，徒费时间和精力。
　　古希腊人还对另一种数感兴趣。他们将它称为完美数。一个大于1的自然数叫完美数，如果它的所有因子（包括1，但不包括本身）之和等于它本身。比如说6=1+2+3就是最小的完美数，古希腊人把它看作维纳斯也就是爱情的象征。28=1+2+4+7+14是另一个完美数。欧几里德证明了：一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：
　　　　　2p-1（2p-1）
其中2p-1是素数。上面的6和28对应着p=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2p-1的素数，也就知道了一个偶完美数；我们只要找到所有形如2p-1的素数，也就找到了所有偶完美数。所以哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素数，还找到了世界上已知的最大的偶完美数。嗯，你要问，关于奇完美数又是怎么样的情况？回答是：我们现在连一个奇完美数也没有找到过，我们甚至根本不知道是不是有奇完美数存在。我们只知道，要是有奇完美数存在的话，它一定是非常非常大的！奇完美数是否存在这个问题，也是一个上面所说的既简单又美丽，但是极为困难的著名数学问题。
有很长一段时间人们以为对于所有素数p，
　　M_p=2p-1
都是素数（注意到要使2p-1是一个素数，p本身必须是一个素数，想一想为什么？）但是在1536年雷吉乌斯(Hudalricus Regius)指出，M_11=211-1=2047=23*89不是素数。
　　皮特罗·卡塔尔迪(Pietro Cataldi)首先对这类数进行了系统的研究。他在1603年宣布的结果中说，对于p=17，19，23，29，31和37，2p-1是素数。但是1640年费尔马使用著名的费尔马小定理（不要和那个费尔马大定理混淆起来）证明了卡塔尔迪关于p=23和37的结果是错误的，欧拉在1738年证明了p=29的结果也是错的，过后他又证明了关于p=31的结论是正确的。值得指出的是，卡塔尔迪是用手工一个一个验算取得他的结论的；而费尔马和欧拉则是使用了在他们那时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能造成的错误。