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七颜
萬寶全書缺只角最佳答案 - 由提问者2006-11-01 14:51:40选出
歐拉公式是歐拉發現的公式，可以用以稱呼以下數條著名的公式：
V-E+F=2，簡單多面體的頂點數，棱數，面數。 （參見歐拉特徵數）
，是以下公式的一個特殊情況，參見歐拉恆等式
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歐拉公式說明對任何實數x：
歐拉公式可以利用泰勒級數或微積分的辦法來證明：
函數ex, cos(x)和sin(x)可以寫成：
將以上的x換成iz可得：
利用微積分證明：
定義一複數如下：
兩邊對x求導：
由i2 = - 1得到：
分離變量並對兩邊積分得：
令x=0可證C=0.
提问者对最佳答案的评价
谢谢 可是好象很复杂
其他回答(1)
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用拓朴学方法证明欧拉公式 F-E+V=2
尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末
F-E+V=2。
证明 如图15（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：
（1） 把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2） 去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3） 对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4） 如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5） 如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6） 这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7） 因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8） 如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
关东一宝
