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过客
60.168.53.*
证明：对任意的自然数n,n(n+1)(n+2)(n+3)+1
一定是一个完全平方数(若一个数等于某个整数的平方,那么这个精心策划是完全平方数)
ying4917
其他回答(3)
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n(n+1)(n+2)(n+3)+1＝n^4+6n^3+11n^2+6n+1
若其为完全平方数，则形式为（n^2+kn+1)^2
展开，得n^4+2kn^3+(2+k^2)n^2+2kn+1
所以2k=6且(2+k^2)=11
可得k＝3
所以，n(n+1)(n+2)(n+3)+1＝（n^2+3n+1)^2 -
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[(n+1)(n+2)][n(n+3)]+1
=[(n^2+3n)+2][n^2+3n]+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2 -
一般计算n(n+1)(n+2)(n+3)是首尾对应项相乘,(因为计算后N的一次项与二次项相同).n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(nn+3n)(nn+3n+2)+1==[(nn+3n+1)-1][nn+3n+1)+1]+1==(nn+3n+1)(nn+3n+1)-1+1==(nn+3n+1)(nn+3n+1),
即得证！
简单头脑
笨笨熊
