已解决问题 - 浏览133次
下一个已解决问题
withlovefrom@yahoo.cn
数学中的三元一次方程组问题
管涌问题是常见的了,请问
某江边一洼地发生了管涌,江水不断涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完,如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完,若想尽快处理好险情,将水在10分钟内抽完,那么至少需要抽水机多少台?
解 设 原有水X吨,每分钟涌进水Y吨,每台抽水机没分钟抽水Z吨,若10分钟抽完需要A台抽水机. 可得方程.
40(2Z-Y)=X
10(4Z-Y)=X
10(AZ-Y)=X
这个方程解出来的答案是正确的,那么请问,这个方程组显然不是三元一次方程组,为什么用三个等式就可以解了呢?
小九妹最佳答案 - 由提问者2008-07-08 12:52:07选出
管涌问题是常见的了,请问
某江边一洼地发生了管涌,江水不断涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完,如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完,若想尽快处理好险情,将水在10分钟内抽完,那么至少需要抽水机多少台?
解 设 原有水X吨,每分钟涌进水Y吨,每台抽水机每分钟抽水Z吨,若10分钟抽完需要A台抽水机. 可得方程.
40(2Z-Y)=X
16(4Z-Y)=X
10(AZ-Y)=X
这个方程解出来的答案是正确的,那么请问,这个方程组显然不是三元一次方程组,为什么用三个等式就可以解了呢?
答：你的第二个方程有错，已改正。
为什么三个方程能解出四个未知数？是因为每台抽水机每分
钟的抽水量Z吨与管涌每分钟的进水量Y吨之比Z/Y=3/2是一
个定值之故。由40(2z-y)=16(4z-y),得5(2z-y)=2(4z-y)
即2z=3y,∴z/y=3/2. 因此从表面看，z和y是两个未知数，
实际上它们是一个未知数。如果z/y不是定值，A=6是求不出
来的。
提问者对最佳答案的评价
谢谢,以后有问题我一定回细心研究的
其他回答(1)
-
管涌问题是常见的了,请问
某江边一洼地发生了管涌,江水不断涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完,如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完,若想尽快处理好险情,将水在10分钟内抽完,那么至少需要抽水机多少台?
解 设 原有水X吨,每分钟涌进水Y吨,每台抽水机没分钟抽水Z吨,若10分钟抽完需要A台抽水机. 可得方程.
40(2Z-Y)=X
10(4Z-Y)=X
10(AZ-Y)=X
这个方程解出来的答案是正确的,那么请问,这个方程组显然不是三元一次方程组,为什么用三个等式就可以解了呢?
答：化简得：
|1 40 -80|(X) (0)
|1 16 -64|(Y)=(0)
|1 10 10A|(Z) (0)
这是一个形如Cx=0的齐次线性方程组，如果它的系数行列式|C|不为零，也就是说矩阵C可逆的话，那么这个方程组只有零解，因为两边同乘以C的逆可得：
[C^(-1)]*Cx=Ex=0
即x=0
即X=0,Y=0,Z=0。但这是不可能的，因为X，Y，Z表示抽水速度。
所以为使原方程组有非零解，只有当行列式|C|=0才可以
于是我们可以得到一个关于A的一次方程，解之即可
但X，Y，Z的值是求不出的，只能得到一个它们的比例关系
----------------------------------------------------------------
综上所述，本题看似是一个四元一次方程组（实际上也是），其实对于A而言是一个一元一次方程，因而A的值可以求出。
等到你学习了《线性代数》这门课，就会对其有更深刻地认识。
爷爷
